المثلثات

المثلثات

هو أحد الأشكال ألأساسية في الهندسة .

وهو مضلع مكون من ثلاثة رؤوس ( زوايا) تصل بينها ثلاثة أضلاع .التي هي عبارة عن قطع مستقيمة .

 يمكن تصنيف المثلثات إلى نوعين :

 أ‌)      أنواع المثلثات حسب الاضلاع .

ب‌) أنواع المثلثات حسب الزوايا

 أنواع المثلثات بحسب أضلاعها :

1)    مثلث متساوي الساقين : فيه ضلعان متساويان والضلع الثالث مختلف .

2)    مثلث متساوي الاضلاع : أضلاعه الثلاثة متساوية .

3)    مثلث مختلف الاضلاع : أضلاعه الثلاثة مختلفة .

 

أنواع المثلثات حسب الزوايا :

1)    مثلث حاد الزوايا : زواياه الثلاثة حادة .

2)    مثلث قائم الزاوية : فيه زاوية واحدة قائمة والزاويتين الأخريتان حادتان .

3)    مثلث منفرج الزاوية : فيه زاوية واحدة منفرجة والزاويتان الأخريتان حادتان .

للإجمال : في أي مثلث كان

1-    مقابل الاضلاع المتساوية تقع زوايا متساوية .

2-    مقابل الزوايا المتساوية تقع لأضلاعه متساوية .

3-    مجموع زوايا المثلث 180 درجة أي زاويتان قائمتان .

4-    لبناء مثلث يجب أن يكون مجموع أي ضلعين أطول من الضلع الثالث

5-    لا يمكن أن يحوي المثلث المنفرج على أكثر من زاوية قائمة .

6-    لا يمكن أن يحوي المثلث المنفرج على اكثر من زاوية منفرجة .

7-    في أي مثلث كان لا توجد أقطار .

حقائق عن المثلثات :

مجموع زوايا المثلث :

مجموع الزوايا الداخلية للمثلث 180 درجة (الزوايا التي لها نفس اللون متساوية).

مجموع الزوايا الداخلية للمثلث يساوي 180 درجة.

ويمكن إثبات ذلك عن طريق الزاوية المستقيمة، كما هو مبين بالشكل المجاور.

الزاوية الخارجية للمثلث :

الزاوية الخارجية للمثلث

الزاوية الخارجية للمثلث تساوي مجموع الزاويتين الداخلتين غير المجاورة لها.

في الشكل المجاور يكون قياس الزاوية (ACD) يساوي مجموع قياسي الزاويتين (ABC) و (BAC).

مجموع الزوايا الخارجية الثلاثة (واحدة لكل رأس) لأي مثلث هو 360 درجة.

تطابق مثلثين :

يقال عن مثلثين أنهما متطابقان إذا توافرت أحد الشروط التالي:

1. إذا تساوت أطوال الأضلاع المتناظرة فيهما(ضلع، ضلع، ضلع).
2. إذا تساوت زاويتان من المثلث الأول مع زاويتين في المثلث الثاني وتساوى طول الضلع المشترك بين الزاويتين مع نظيره في المثلث الثاني (زاوية، ضلع، زاوية).
3. إذا تساوى قياس زاوية من مثلث قياس زاوية من مثلث آخر وتساوت أطوال الضلعين اللذين يحتويان هذه الزاوية في مثلث مع أطوال الضلعين المناظرين في المثلث الثاني (ضلع، زاوية، ضلع).

نتائج التطابق :

-مساحتي المثلثين المتطابقين متساويتين.

-محيطي المثلثين المتطابقين متساويين.

تشابه مثلثين:

يقال عن مثلثين أنهما متشابهين إذا كانت الزوايا المتقابلة لكل منهما متساوية، أي عندما ينتج أحدهما عن الآخر بتكبيره أو تصغيره. وتكون أطوال أضلاع المثلثين المتشابهين متناسبة، أي أنه إذا كان طول أقصر أضلاع المثلث الأول هو ضعفا طول أقصر أضلاع المثلث الثاني، فإن طول كل من الضلعين الأطول والمتوسط من المثلث الأول هو ضعفا طولي الضلعين الأطول والمتوسط من المثلث الثاني أيضا، وبالتالي فإن النسبة بين طولي الضلعين الأقصر والأطول في المثلث الأول مساوية للنسبة بين طولي الضلعين الأقصر والأطول في المثلث الثاني. ويرمز للتشابه بالرمز (~)

حالات التشابه :

1. يتشابه مثلثان إذا تناسبت أطوال الأضلاع المتناظرة فيهما(ضلع، ضلع، ضلع).
2. يتشابه مثلثان إذا تساوت زاويتان من المثلث الأول مع زاويتين في المثلث الثاني (زاويا).
3. يتشابه مثلثان إذا تساوى قياس زاوية من مثلث قياس زاوية من مثلث آخر وتناسبت أطوال الضلعين اللذين يحتويان هذه الزاوية (ضلع، زاوية، ضلع).

نتائج التشابه :

-النسبة بين مساحتي مثلثين متشابهين تساوي مربع النسبة بين طولي أي ضلعين متناظرين فيهما.

-النسبة بين محيطي مثلثين متشابهين تساوي النسبة بين طولي أي ضلعين متناظرين فيهما.

نظرية فيثاغورس :

واحدة من النظريات الأساسية في المثلثات هي نظرية فيثاغورس والتي تنص على أنه في المثلث القائم، مربع طول الوتر (c) يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين القائمين (a, b)، أي:

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}\,}$

نظرية فيثاغورس

مما يعني أن معرفة طولي ضلعين من المثلث القائم، كافٍ لمعرفة طول الضلع الثالث:

من الممكن تعميم نظرية فيتاغورس لتشمل أي مثلث عبر قانون جيب التمام:

مربع طول الضلع = مجموع مربعي الضلعين الآخرين مطروح منه ضعف حاصل ضرب طولي الضلعين الآخرين في جيب تمام "الزاوية المحصورة بينهما"

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\ Cos\theta \,}$

و هو صحيح لكل المثلثات حتى لو لم تكن الزاوية ( ${\displaystyle \theta \,}$) قائمة